fundamentos de matemáticas universitarias pdf
74 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS En la vida ordinaria los ángulos se miden en grados, siendo 360° la medida del ángulo circular completo. C mínimo = 4 ( + (a2i oi2 ^ _ Q 378 WebFundamentos de Matemática. jR2 b) I | 5+ (-8 ) ( I 5 + (-2) ( Í - ) 2 y= T C'(x) = Lím 0.1 (2* + A*) Ax -*■ 0 Obtención de la segunda derivada y de los posibles puntos de inflexión. 0 III -2x? G ,“ X r t t 6 Multiplicando la tercera por y sumándola con la segunda y multi5 7 plicando la tercera por —— y sumándola con la primera { * / * < 6} 0 2v ¿Cuánto recorrió cada uno? XA d —— (y '') dx ~7~ ( y " ) dx _L 2 (« — fe)! Los otros números del renglón 3 corresponden a los coeficientes del co ciente, cuyo grado será uno menos que el grado de P(x), Por tanto Q(je) = jí4 — 5.x3 — x 2 + 3jc + 2 y 270 -2 , , y , f (jc), — [( a 22 29Formalmente podemos definir el límite de una función así: el límite de f{x) cuan do x tiende a a es igual a L, si para todo e > 0 existe algún 9 > 0, tal que para todo x, si 0 < Ix — a I< 9, entonces If (x) — L I< e . x ( x — 3) + 5x? ( - 3 ,4 ) 4 3 170 M ATEM ATICAS UNIVERSITARIAS b e , con c El siguiente teorema presenta sus propiedades básicas. d — dy integral francés x 5— — 10.3 lo ilustra. IR U x > 1 R x 3 + 4x? En el plano cartesiano es posible representar un par ordenado de núme ros reales (x, y) en donde x representa la distancia del punto al eje Y, y y re presenta la distancia del punto al eje X . —d , observe que la derivada interna es un cociente, = - Son también números irracionales: e = 2.7182815, y/~2, vT3 y en general todas las raíces no exactas de números enteros. 0 3 4 , y = J M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S 1 e) = 4 8 ,4 0 0 ,0 00-10,648,000 (4a2 - 3 b 2) - (lab + ó2) -(5 a 2 + 6ab + 1062) = 4a2 - 3b2 lab - b2 - 5a2 - 6aí> - 1062 = - a 2 - 14ó2 - 13aó El proceso de la adición se puede realizar convenientemente si se distri buye el trabajo en columnas de manera que cada columna contenga única mente términos semejantes. - 0 b) Si A es una matriz de tamaño mXn tal que A = (tty) y K es un número real, entonces K'A = (Jf*a¿/). 8) - I" 28 y Paso 4: 0.5161 — 2a3b + 5a2 b2 — 3ab3 Use esos datos para predecir el PNB en 1995 si el PNB está creciendo: a) linealmente b) exponencialmente. Observemos que nuevamente hemos obtenido una tautología. -1 0 b) ( 2 * - y + 3* — 1 4 = 0 2 - 1 X t 256 f v dx 2*3 + 1. Ax->0 2. a) El banco compone el interés continuamente. 3 (10,000) + 0— mínimo 2jcy R1 La adición y la multiplicación son operaciones binarias en el conjunto R de los números reales. Sin embargo no todas las funciones están expresadas en esta forma; algu nas están escritas en forma implícita32 como x y - 1. + Lím x -> 2 < x < En el lenguaje diario es usual encontrar expresiones com o: — Si no llueve voy a cine — Viajaré a Cali o a Medellín — 3X2=6y9X5#40 Todos los anteriores enunciados están conformados por dos proposicio nes imidas mediante unos símbolos denominados conectivos. -4 -2 + 3 Es posible agrupar los sumandos de otro modo: 2 En esta sección trataremos la derivada de estas fun ciones y algunas de sus aplicaciones. + 19) (6a:'2 + a:3) du dv Tomando u = 3a? — 5x + 6. 2 . 329 WebUn libro electrónico, [1] libro digital o ciberlibro, conocido en inglés como e-book o eBook, es la publicación electrónica o digital de un libro.Es importante diferenciar el libro electrónico o digital de uno de los dispositivos más popularizados para su lectura: el lector de libros electrónicos, o e-reader, en su versión inglesa.. Aunque a veces se define como "una … 12.12 Ley conmutativa: p V q «—»■q V p b Factorizar una expresión algebraica significa escribirla com o un producto de factores. = 2 , 12 x + 7 |< 4 implica que —4 < 2 x + 7 < 4 luego —11 < 2 x < —3; así, INFORMÁTICA > Doble Grado en Ingeniería Informática y Matemáticas: PDF DG. x = — >a: = —1 son las raíces de P(a:). b)T - 1 . L - 4 (5.5) 14. (6 + En «o = 3, /r0(Jc)= 0 = y 0 . (x - 2) (x + 5) Como queremos solucionar (jc — 2) ( jc + 5) > 0, entonces la solución es el intervalo (unión de intervalos) en el que el signo es positivo; luego el con junto solución es (— « , —5) U (2, oc). JL” 2 2a4 - 3a3 + 12*2 — 27* + 16 —2 a4 + 4a3____________________ _ 1_ + h) ¿Por qué la sustracción no es conmutativa en los números reales? 3^ Una nueva aplicación de la ley distributiva nos da (3a4 + 4a2 b + a2) + (6a2 b + 862 + 2b) = 3a4 + 10a2b + a2 + 8b2 + 2b El trabajo puede prepararse como se indica a continuación: 3a2 + 46 + 1 a2 + 2b 3a4 + 4a2b + a2 + 6a2b + 8b2 + 2b 3a4 + 10a2b + a2 + 8b2 + 2b Un caso particularmente importante es el del producto de dos expre siones que contienen potencias de una sola variable.En estecasoes con veniente disponer el orden de los términos de talmanera que los expo nentes decrezcan término a término, esto es, “ en orden descendente de potencias” . 130 - 1 8 0 c) e) g) i) 4. o; b) a2 + 1 2.8284 : q ->• 'V p Observaciones 1. '-i Ahora utilizando el punto (—3, 4) com o el punto P(xo , yo ) entonces, 1 ••• a2n ( - oc - 5 ) = ( - a , — 5 ) U ( 2 , a } . 1 3 Se estima que al cabo de t años, la población de cierto país será de 80 = 8 + 1 2 e -o- 06f millones, a) x , x$ Ingreso marginal: R' (x) = —— dx Podemos interpretar el ingreso marginal, como el ingreso adicional por cada unidad demandada de más, cuando esta demanda adicional es muy pe queña. 0 (4a4 7 (3 0 0 km)* - (10.56 km)7 300 km = / ¡2 i »h) Iberoamérica. ax > 1 para x > 0 a* < 1 para x < 0 2-1 c) Pasa por (3 ,1 ) y m = 0 d) Pasa por (9, —5) y tiene la misma pendiente de la recta 3x + y = 1 5. 2. A Figura B 3 En el tercer ejemplo como x 2 contiene a x, x 2 (x + 4) es la mínima expresión de la cual son fac tores los tres denominadores; luego éste es el m. c. d. De manera similar en el ejemplo 4, como x — 1 y x + 1 son factores de x2 — 1, x 2 — 1 es la mínima expresión que contiene los tres denominado res; luego x 2 — 1 es el m. c. d. Suma algebraica de fracciones 12 3 an f) b 3 17 1 17 J h( 1) = l 2 = 1 Ejemplo 15 n(n — l ) ( n — 2) 1-2-3 u = f/(x) y 7,000..., 9 ~d La suma de dos números reales positivos es un positivo, ; 1. 2.3 Mauricio Hernández Estrada. Inicialmente producía 20 unidades por día, y después de una semana puede producir 30 unidades diarias. b) J !? h) = 0.2 + ( - 2 ) - 1 = 0 - L A D E R IV A D A x7 — 1 Grafique f(x) = y = -----------x + 1 El dominio de la función es Df = { x I x e R A x ¥= - 4 } Observe que algebraicamente (a2 — 1) / f(x) = x — 1, con x ± —1. * — 0 M A T R IC E S Lím f(x)± (-0 0 ,-1 3 )^ 1 (7 ,0 0 ) reciben en Economía nombres especiales: costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal, respectivamente. 3 de donde obtenemos la siguiente solución. 2 vjc+y En primer lugar debemos comprobar si Lím f(x) existe, x -*■ —1 x 1 — 2 x —3 , (x — 3 ) ( # + l ) luego, Lím f(x) = Lim ----------- — = Lim —--------——---------x-* —1 x-+ —1 X + 1 X -+-1 * + 1 = Segunda derivada: Por ejemplo, la derivada de cada una de las funciones constantes: y = f(x) = a, y = f(x) = 12, y y = f(x) = —4, es cero. R(x) R(x) R(x) R(x) R(X) R(x) R(x) R(x) R(x) R(x) 3¿ 9. 2. Si F(jc) es una antiderivada de f(x), entonces .b c) ' b) £/'(50) = 37OO U'(40) = - 2590 . 351 Fundamentos de matemática. 3 — M A T E M A T IC A S U N IV E R S IT A R IA S En un término se aprecian tres elementos fundamentales: él signo, el coe ficiente y la parte variable. Una ecuación lineal de una variable tiene la forma corriente de: ax + b = 0 donde a y b son números reales y a =£ 0. 13 5 26 O 1 0 0 a3 + 12 a2 —2 7 * + 16 —a3 + 2a2 14a2 - 2 7 * + 16 —14*2 + 28* * + 16 -* + 2 18 En este caso: Q (*)= 2a3 + a2 + 1 4 * + 1 JS(*)= 18 Observe que el grado de Q(a) (= 3) es el grado de P(x) (= 4 ) — grado de S (* )(= l). Así, los $150,000 invertidos al 18% anual, capitalizados continuamenti se convertirán en: 18 6 + 4 + 8) -Ó - 1 b) 2 Eyponentes y radicales O B JE T IV O S 360.000 (2) _ 3 * 240.000 = x costo mano de obra X tn Observe que la definición de tasa de cambio coincide con la definición de pendiente entre dos puntos. Recuerde que: 1. * = - -3 x = — 2, x = 2 Es claro que j c + 2 > 0, luego el dominio de f es: Df = [—2 , ° ° ) . 2X2 < Si no lo tienen, se busca el m. c. d. y se procede com o en los siguientes ejemplos: Realice las siguientes operaciones: 8) Figura 10.4 y = x + 1. 40 El siguiente paso será obtener los correspondientes ceros de esta columna. B = 9-V 47 i p 2 - l,400p + 400,000 = 0 resolviendo, p = 1,000 pesos p = 400 pesos Ejemplo 13 Un vendedor de hamburguesas está comprando la carne preparada por cada hamburguesa a $120. CapítulolO 2. c) f(x) = V * 2 - 5 x + 6 d) f(x) = 285 Se acostumbra escribir los números con la parte periódica expresada una sola vez, colocando sobre ella una barra. 2 p 4 0 - — JC2 — JC+ 1 X 3 + Ejercicio 4 s La hipérbola x 2o3 + 5a2— 22a + 15 Ahora que ya conocemos el significado de la propiedad asociativa, volva mos a nuestro problema original, es decir, encontrar un significado a la ex presión a * b * c donde a, b y c son elementos del conjunto S, en el cual está definida * com o una operación binaria. En este caso, la anterior desigualdad se puede representar por las siguien tes desigualdades: x2 Capítulo 4 1.a; b) c) d) : r 3. y = —2x~3 + 5jc t + 4x~2 = Si a y 6 son números reales y ai= b, entonces a2 + b2 > 2 ab. En los siguientes problemas obtenga el cociente Q(a) y el resto ü (a ). dx 342 o ( s / 2 + y / 3 ) + ( y /5) 100 * —3 x 2 + 2 * — fe 1 + (-2 ) ( “ El término matriz fue utilizado por primera vez por los matemáticos ingléses Arthur Cayley (1821 - 1895) y James Sylvester (1814 - 1897) en el año de 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. _ 2 En x 0 = 1, y 0 = l n l — 12 = —1 luego y = y 0 + m ( * — x 0) y = —1 — 1 (x — 1), luego y = —x es la recta tangente 13.6 J Una función donde el rango es igual al conjunto de llegada se denomina fun ción sobreyectiva. dx 2. y 2x - 5y - 19 = 0 3x -i- 4y + 6 = 0 En la mayoría de los casos, los puntos más fáciles de identificar son aque llos que se encuentran haciendo una variable igual a 0, y resolviendo para el valor de la otra variable. 5.04 días aprox. WebEsta obra está dividida en tres unidades: Fundamentos de Aritmética, Fundamentos del Álgebra, y Fundamentos de Geometría y Trigonometría. 6. d) [a, 6) = WebCap tulo 1 Matrices y determinantes 1.1. Compruebe los re sultados en las fórmuías AA~l = I , A ~ l A = I. " 4 _—2 + 3 g) 30a2 - l i a 3 + 10a5 - 7 - a X = 3. X •X Inicialmente debemos encontrar el punto de corte de las gráficas; para és to igualamos las funciones dadas y resolvemos la ecüación asf obtenida: U Estas dos características se cumplen en cualquier inecuación, lo que nos permite obtener la solución de manera más corta y sencilla. 1 Ejemplos x+ 5= 2 sen x — 2 eos x = ^ 3a2 + 5jc — 1 = 3 2x+ 3 = 5 99 g( x) X2 + - "0 — + i Trace las gráficas de las siguientes funciones: a) y = x 4- — 3 b) y = —2.x + 5 c) d> x = — 2, * = O, x + 1 2 di 1* T 2 _ 40 (*) = R ( x + A X ) - R ( x ) R(x+Ax) también, 1 2 - 6 - 3 = 12 + [ ( - 6 ) + ( - 3 ) ] = 12 + ( - 9 ) x < —5 jc . b33 La reducción de la matriz original se lleva a cabo teniendo en cuenta ciertas pro piedades que cumplen las matrices, llamadas “ operaciones elementales” . -10 _ Su vida promedio es de 1690 años. L A D E R IV A D A Calcule y y '' y y Primer semestre = El teorema anterior nos habla de la existencia de las raíces de una ecua ción polinómica, pero no nos dice la forma de hallar dichas raíces. 5 = 3.34 X 1 0 -3 3 Si f(x) = — 26 a) se capitaliza semestralmente b) se capitaliza continuamente. 2/ (x3 + 2 x — l ) d x = ( 1 3 9 ± 1 , ± 3, ± 9, ± - , ± - , ± j Utilizaremos la división sintética para verificar cuáles de las anteriores son raíces de P(x). 4 km Horizontales: y = 2 Paso 7: Gráfica x = —1 t Y 0 -4 4 >1 + 13X — - J ] )■ Vector columna: Se denomina así a una matriz B de orden m X l y en forma general se escribe: &n &21 &3I 3. nuevamente, n e R x IR . JC2 — JCj m = tang a a : ángulo de inclinación ^.a recta y c son números reales, y a c Suma de matrices Si A y B son dos matrices de tamaño mX n tal que A = (a(/) y B = (bif), en tonces la suma de A y B es la matriz A + B = (a¡¡ + an + ^11 A + B = (a¡¡ + Bi¡ ) = -»• b 23 Los registros de salud pública indican que t semanas después del brote de jc Esta función inversa se denomina función logaritmo y se define de 1 siguiente manera: Definición: Si a > 0 y a =/= 1, entonces log x - 6 si, y solamente si, o* = *. ¿Cuántas bacterias tendrá el individuo infectado después de ocho horas? h: 38 3 Luego la pendiente es m = 4 En este caso, Pt (2 ,2 )y P 2 (3 ,6 ) 5 b) Eje mayor paralelo al eje Y (y -fe )2 3 Ecuaciones lineales en una variable La teoría desarrollada en la sección anterior, para hallar máximos o míni mos locales de funciones, puede aplicarse para encontrar los valores máxi mos y/o mínimos en problemas prácticos. . Observe que: 1. 0 F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L E S Y L O G A R IT M IC A S l LA D E R IV A D A Prentice Hall Iberoamericana. C22 Por lo anterior, debemos utilizar com o regla continuar el procedimiento de división sintética con una misma raíz, hasta que el residuo sea diferente de cero. [2ay + 3y2] = 3jc2 — y 2 dy e(* + A*) — c(x) ^x 1,200,000 3jc4 "3 + l El teorema anterior no garantiza la existencia de raíces racionales. Como su nombre lo indica, el m. c. d. es la expresión algebraica más sim ple, de la cual son factores todos los denominadores. g( 0) dx Luego * 2 + 4x + 3 " b) 5^ — 7 Si un número es tres unidades mayor que el otro, ¿cuáles son los números? Los números negativos fueron estudiados por muy pocos matemáticos de la antigüedad e incluso fueron rechazados en la edad media. .) 2 M A TEM ATIC AS UN IVERSITARIAS du (sec u) = sec u tang u -----d¿ dx d '' INECUACIONES Referencias ISBN 978-958-5123-22-9 (digital) 1. 11. a; *>(M)= fÍ3> , 15}, |3,5},0} 1 X Solución a) Sea * el número de días de venta, y sea y el número de artículos en bode ga; entonces y = 1,386 - 42* b) Siy = 336, 336 = 1,786 = 42* 4 2 * = 1,050 * = ^ = 2 5 42 Tendría que realizar el pedido al cabo de 25 días. b) Sea U el conjunto de los enteros. l ) 2 5. El punto de corte de las ecuaciones de oferta y demanda recibe el nom bre de punto de equilibrio del mercado (véase Figura 6.7), y representa el punto en que el número de unidades que se ofrecen es igual al número de unidades que se demandan. !? b) ¿Cuál debe ser el precio de cada artículo para obtener ingresos de 16 ] 3 1 ) ~ [ : Este proceso de completar el cuadrado se utiliza para resolver ecuacio nes cuadráticas, sólo que en este caso el cuadrado se completa con el término independiente. — ¿A qué ritmo estará creciendo la población de la comunidad dentro de un año? 4 ' 4x Open navigation menu. / en x y 2 + y 3 = 5 + x 3 1 (l+ 00 \ Como esta última matriz (hasta la línea interrumpida) es una matriz trian gular superior, el proceso ha terminado. y/x + 6 + x — 6 = 0 2 No siempre las ecuaciones lineales y /o cuadráticas presentan la forma están dar ax + b = 0 ó ax2 + b x + c = 0, sino que en muchas ocasiones éstas ini cialmente presentan otras formas con fracciones, radicales, etc. Related Papers. Calcular el área bajo una curva dada. no existe Ejemplo 4 Calcule: (3a3 + 864)2 = (3a3)2 + 2(3a3)(8 6 4) + (864)2 = 9a6 + 48a3 64 + 646* b) Cuadrado de la diferencia de dos términos (a — 6) (a — 6) = (a — 6)2 (a — 6)2 = a2 — 2ab + 62 R ESP U ESTA S d) 1 1 « . El producto 1*2*3 . De niciones b asicas Se llama matriz de m 1 las y n 1 columnas a la disposici on en forma de caja, A= 0 B ! entonces: ■X + 6 128 4. = 1400 Si f es una función con primera derivada, entonces f es creciente para to do x, tal que f'(x) > 0 y f es decreciente para todo x, tal que f ‘ (x) < 0. b23 a(b + c) = ab + ac (ley distributiva) ab + ac = a(b + c) \ /factor común 24*3 V 1 WebHay evidencias de que los babilonios tenían sólidos conocimientos de casi todos los aspectos de la aritmética elemental hacia 1800 a. C., gracias a transcripciones de caracteres cuneiformes sobre tablillas de barro cocido, referidas a problemas de geometría y astronomía. 1 x =— 8) (—1) X a = - a 100 Matemáticas aplicadas. - i) (-2 )2 = +4 22 = + 4 ( - 3 ) 4 = +81 (3)4 g) JL/md 40 41,250 — 40 8. ( 4 ) ' 270° c) Derivada de la suma y diferencia si y = f(x) ± g(x), entonces y ' = f\x) ± g'(x) d) Derivada de un producto 5 Observe que aunque ini'cialmente el numerador era un trinomio, simple mente asociamos para conformar un binomio. - —y4 ) (2a2+ a y —y 2) M A TE M A TIC A S U N IV E R S ITA R IA S JC-1 3x =0, Paso 3: Obtención de la segunda derivada y de los puntos de inflexión La segunda derivada de f(x) es: f " ( x ) = 6jc — 8 La determinación de los puntos de inflexión se realiza de acuerdo con la siguiente definición: FUNCIONES El anterior ejemplo puede gene ralizarse en el siguiente teorema: Teorema 1 Si F es una antiderivada de tina función f, entonces G(a) = F(x) + c, con c = cte es también una antiderivada de f. y '2 1 Click here to sign up. 40Una ecuación diferencial es una ecuación en la que la incógnita, en este caso la función F, aparece dentro de una derivada. Al finalizar el presente capítulo el estudiante estará en capacidad de: 1. Para realizar este producto efectuamos el producto factores y este nuevo producto lo multiplicamos por el tercer ractor. 1 97 f R4: t) f) 3x+ 5 —6 < ----------- < 4 - + 4 B = Si la ecuación tiene solución, la parábola corta al eje X justamente en los puntos x que solucionan la ecuación. 2 c) 2 V 7r 2 —3 ó y Así: je2 + (-2JC2 + 3x - 8) = s 3 - 2*2 + 3x - 8 2. x* CAPÍTULO 4: … kan 4. + c x* NOMBRE L e) la primera columna de C7, y luego sumar dichos productos, así: A continuación, obtenemos el 1 de la diagonal principal en la segunda columna, dividiendo la segunda fila entre —7, así: 1 0 0 La función y = ------ tiene una asíntota oblicua dada por la recta y - x — 1, x+ 1 ya que este es el cociente de dividir x 2 entre x + 1. M A T E M A T IC A S U N IV E R S ITA R IA S Por ejemplo, como U Para todo a, existe —a, tal que a + (—a) = (—a) + a = 0 REALES ( R K ^ ^ O r a c i o n a l e s (Q) ENTEROS (Z) NATURALES (N) 2x2 ) (* — 8) > 0 d) Se dice que una función que no es continua es discontinua, pero alguna» funciones discontinuas pueden volverse continuas. q) Una compañía estima que el costo (en pesos) para producir * unidades de un cierto producto viene dado por C = 800 + 0.04*+ 0.0002 * 2 Halle el nivel de producción que minimiza el costo medio por unidad. ]= a) o -1 0 7.a) _ , así: p Ecuaciones O B JE T IV O S a4 + a,2b2 + b4 = a4 + a2 b2 + a2b2 — a2b2 + b4 = (a4 + 2a2b2 + b4) - a 2b2 Observe que la expresión dentro del paréntesis es ahora un trinomio cua drado perfecto, por tanto a4 + a2 b2 + ó4 = (a4 + 2a2 b2 + b4) — a2 b2 = (a2 + b2)2 — a2b2 = (a2 + b2 + ab) (a2 + b 2 — ab) Ejemplo 10 Factorice 16jc® — 25¿* y 2 + 9y4 I dx f f(x) dx Remember me on this computer. 288 = |-7| = - ( - 7 ) = 7 Asumiendo que la ecuación de la demanda es lineal: a) Determine la ecuación de la demanda. ( jc3 jc- _3_ ECU ACION ES 1 Cuando se trabaja con triángulos que no son rectángulos, las funciones trigonométricas seno y coseno se definen mediante las relaciones denomina das ley del seno y ley del coseno, respectivamente enunciadas a continua ción: Dado un triángulo de lados A, B y C con ángulos
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